前言

如果此题解有什么问题的话欢迎各位大巨佬提出。

题目链接：CF877B

题目类型：dp，一讲就会，一做就废(；′⌒`)。

更新

2021/5/31：因为帮同学调代码添加了新发现的滚动数组问题。

题意简述

给定一个只含有 “a” 和 “b” 的字符串，求这个字符串中最长的子序列，子序列满足以下条件之一：

  1. 全为 “a”。
  2. 全为 “b”。
  3. 开头和结尾是连续的 “a”，中间是连续的 “b”。

字符串长度 $\leq 5000$。

题解

算法：动态规划

首先可以发现一个“美丽”的字符串由三个部分组成，所以我们可以开一个二维的 $dp$ 数组。其含义如下：

  • $dp_{i,1}$ 代表字符串只包含第一部分，从 $1\sim i$ 能取到的最长长度；

  • $dp_{i,2}$ 代表字符串包含第一部分和第二部分，从 $1\sim i$ 能取到的最长长度；

  • $dp_{i,3}$ 代表字符串包含所有部分，从 $1\sim i$ 能取到的最长长度。

因为每个部分都可以是空串，所以最后的答案可以为 $dp_{i,1},dp_{i,2},dp_{i,3}$ 的任意一种，取最大值。

然后思考如何转移状态。

首先 $dp_{i,1}$ 是很好求的，我们只需要求解字符串里面有多少个 “a” 就可以了。这个很好想，要求解一个字符串中最长的只包含 “a” 或为空的子序列，只需统计 “a” 的个数，让所有的 “a” 都加入子序列。

当然我们不需要每次都用一个循环求解，可以参照前缀和的方式求解 “a” 的个数：

（如果这个字符是 “a” 就 $+1$，反之不加）

接着考虑 $dp_{i,2}$ 的求法。实际上，我们可以用另一种方式理解前面求 $dp_{i,1}$，把它当做动态转移方程而并不是一个简单的求前缀和的式子：

  • 如果这个字符是 “a”，那么一定要选，然后再加上前 $i-1$ 个字符能拿到的最长的长度。

那么，$dp_{i,2}$ 的解法就呼之欲出了：

因为第一部分和第二部分都可以是空串，所以一个全为 “a” 的字符串同样可以作为第二部分的结果，所以需要求最大值。最后的那个 “b” 也是一样的，因为如果这个字符串不是一个全为 “a” 的字符串，就必须以 “b” 结束。所以只有后面是 “b” 才能增加字符串的长度，若答案全是 “a” 那就是 $dp_{i,1}$，与 $dp_{i,2}$ 的求解是无关的。

$dp_{i,3}$ 方法类似，需要考虑空串的情况，考虑 $dp$ 前两维的情况；也需要根据结尾的 “a” 判断不为空的最大值，读者自证不难。

最后可以看到：

我们只有 “$1,3$ 不空，$2$ 空”和 “$1,3$ 空，$2$ 不空”的情况没有考虑到。但是由于第一个部分和第三个部分本质上是一样的，所以这两种情况可以分别对应到另外两种我们已经考虑过的情况——全为 “a” 或全为 “b”。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[5005][4],n;
char a[5005];
int main(){
    scanf("%s",a+1);
    n=strlen(a+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i][1]=dp[i-1][1]+(a[i]=='a');
        dp[i][2]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][2])+(a[i]=='b');
        dp[i][3]=max(dp[i-1][1],max(dp[i-1][2],dp[i-1][3]))+(a[i]=='a');
    }
    printf("%d",max(dp[n][1],max(dp[n][2],dp[n][3])));
    return 0;
}

关于滚动数组

我有个同学一直没过让我帮他调代码，然后我发现他用的是滚动数组。

首先要明确这道题是不能在上述代码中直接修改的。因为如果打滚动，例如求 $dp_{i,3}$ 时需要用到 $dp_{i-1,2}$ 的值，但是如果打滚动这个值就已经被更新为 $dp_{i,2}$ 了。

如果要打滚动呢？

很简单，先求 $dp_{i,3}$，再求 $dp_{i,2}$，最后求 $dp_{i,1}$ 就可以了。