## KMP 自动机

为了介绍 AC 自动机这种神奇的算法，先介绍自动机和 KMP 自动机

有限状态自动机 (DFA)：字符集，有限状态控制，初始状态，接受状态

KMP 自动机：一个不断读入待匹配串，每次匹配时走到接受状态的 DFA

共有 $m$ 个状态，第 $i$ 个状态表示已经匹配了前 $i$ 个字符

$$
trans[i][x] =
\begin{cases}
i + 1,  & \text{if $b[i] = x$} \\[2ex]
trans[next[i]][x], & \text{else}
\end{cases}
$$

（约定 $next[0]=0$）

我们发现 $trans[i]$ 只依赖于之前的值，所以可以跟 [KMP](/string/kmp) 一起求出来

时间和空间复杂度：$O(m|∑|)$

一些细节：走到接受状态之后立即转移到该状态的 $next$

## AC 算法就是 Trie 上的自动机

注意在 [BFS](/search/bfs) 的同时求出 $trans$ 即可

可以解决多串匹配问题

注意细节：$O(n+匹配次数)$ 还是 $O(n)$

前者能找到每次匹配，后者只能求出匹配次数（通过合并接受状态）

## AC 自动机的实现