最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd

在 [素数](/math/prime) 一节中，我们已经介绍了约数的概念。

一组数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。而最大公约数，则是指所有公约数里面最大的一个。

那么如何求最大公约数呢？我们先考虑两个数的情况。

### 两个数的

如果我们已知两个数 $a$ 和 $b$，如何求出二者的最大公约数呢？

不妨设 $a > b$

我们发现如果 $b$ 是 $a$ 的约数，那么 $b$ 就是二者的最大公约数。
下面讨论不能整除的情况， $a = b \times q + r$，其中 $r < b$。

不难证明，$\gcd(a, b) = \gcd(b, r)$，这里两个数的大小是不会增大的，我们得到了关于两个数的最大公约数的一个递归求法。

### 多个数的

那怎么求多个书的最大公约数呢？显然答案一定是每个数的约数，那么也一定是每相邻两个数的约数。我们采用归纳法，可以证明，每次取出两个数求出答案后再放回去，不会对所需要的答案造成影响。

## 最小公倍数

### 两个数的

首先我们介绍这样一个定理 —— 算术基本定理：

>  每一个正整数都可以表示成若干整数的乘积，这种分解方式在忽略排列次序的条件下是唯一的。

用数学公式来表示就是 $x = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_s^{k_s}$

设 $a = p_{a_1}^{k_{a_1}}p_{a_2}^{k_{a_2}} \cdots p_{a_s}^{k_{a_s}}$, $b = p_{b_1}^{k_{b_1}}p_{b_2}^{k_{b_2}} \cdots p_{b_s}^{k_{b_s}}$

我们发现，对于 $a$ 和 $b$ 的情况，二者的最大公约数等于

$$
p_1^{k_{\min(a_1, b_1)}}p_2^{k_{\min(a_2, b_2)}} \cdots p_s^{k_{\min(a_s, b_s)}}
$$

最小公倍数等于

$$
p_1^{k_{\max(a_1, b_1)}}p_2^{k_{\max(a_2, b_2)}} \cdots p_s^{k_{\max(a_s, b_s)}}
$$

由于 $a + b = \max(a, b) + \min(a, b)$

所以得到结论是 $\gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b) = a \times b$

要求两个数的最小公倍数，先求出最大公约数即可。

### 多个数的