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## 1. 复数的引入，定义和分类

### 1.1. 复数的引入

注：下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版选修 2-2。

我们在实数域中，说 $x^2+1=0$ 这个二次方程无解。这个方程无解，那么我们能不能强行让它有解？如果让它有解的话，确实我们解决了问题，但是这个解的意义是什么？

我们尝试一下，定义一个新数 $\text{i}$，$\text{i}^2+1=0$，那么 $x^2+1=0$ 就有一个解 $x=\text{i}$ 了。

我们希望引入的这个新数与实数域中的数一样，能与实数进行加法和乘法运算，还保留各种运算律。

那么我们很容易想到 $a+b\text{i}$ 这种形式，当然其中 $a,b$ 都是实数。把 $\text{i}$ 看做类似变量的东西，验证其运算性质。我们可以发现，得到的结果全部有着 $a+b\text{i}$ 的类似形式。

那么这样的性质就与实数域类似了，我们把所有有着 $a+b\text{i}$ 形式的数放入一个集合中，就出现了复数集 $\mathbb{C}=\{a+b\text{i} \mid a,b\in \mathbb{R}\}$。

我们可以发现，这个集合中的数和实数集中的数类似，都有在集合中任选两个数进行四则运算，得到的数都是原集合中的数的性质。我们说复数集对于四则运算是**封闭的**。

### 1.2. 复数的定义和分类

> 哇哦我们定义的数的性质这么好！

我们定义形如 $a+b\text{i}$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$ 的数叫做**复数**，其中 $\text{i}$ 被称为**虚数单位**，全体复数的集合叫做**复数集**。

复数通常用 $z$ 表示，即 $z=a+b\text{i}$。这种形式被称为**复数的代数形式**。其中 $a$ 称为复数 $z$ 的**实部**，$b$ 称为复数 $z$ 的**虚部**。如无特殊说明，都有 $a,b\in \mathbb{R}$。

对于一个复数 $z$，当且仅当 $b=0$ 时，它是实数，当 $b\not = 0$ 时，它是虚数，当 $a=0$ 且 $b\not = 0$ 时，它是纯虚数。

纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示。

![](./images/complex-1.png)

​<div style='text-align: center; color: #999'>图片来自：人教版高中数学 A 版选修 2-2 第 103 页</div> 

## 2. 复数的性质与运算

### 2.1. 复数的几何意义

我们知道了 $a+b\text{i}$ 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质。

我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。

首先我们定义**复数相等**：两个复数 $z_1=a+b\text{i},z_2=c+d\text{i}$ 是相等的，当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$。

这么定义是十分自然的，在此不做过多解释。

也就是说，我们可以用唯一的有序实数对 $(a,b)$ 表示一个复数 $z=a+b\text{i}$。这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现**复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应**。好了，我们找到了复数的一种几何意义。

那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为**复平面**，$x$ 轴称为**实轴**，$y$ 轴称为**虚轴**。我们进一步地说：**复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的**。

我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 $(a,b)$，显然，复数 $z=a+b\text{i}$ 对应复平面内的点 $Z(a,b)$，那么它还对应平面向量 $\overrightarrow{OZ}=(a,b)$，于是我们又找到了复数的另一种几何意义：**复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数 $0$ 与零向量对应）**。

于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，定义**复数的模**就是复数所对应的向量的模。复数 $z=a+b\text{i}$ 的模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。

于是为了方便，我们常把复数 $z=a+b\text{i}$ 称为点 $Z$ 或向量 $\overrightarrow {OZ}$，并规定相等的向量表示同一个复数。

并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）。

### 2.2. 复数的运算

#### 2.2.1 复数的加法与减法

我们规定，复数的加法规则如下：

设 $z_1=a+b\text{i},z_2=c+d\text{i}$，那么

$$
z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\text{i}
$$

很明显，两个复数的和仍为复数。

考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性。

同样可以验证，**复数的加法满足交换律和结合律**。即：

$$
z_1+z_2=z_2+z_1\\
(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)
$$

减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：

$$
z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\text{i}
$$

这同样符合向量的减法运算。

#### 2.2. 复数的乘法与除法

我们规定，复数的加法规则如下：

设 $z_1=a+b\text{i},z_2=c+d\text{i}$，那么

$$
\begin{align}
z_1z_2&=(a+b\text{i})(c+d\text{i})\\
&=ac+bc\text{i}+ad\text{i}+bd\text{i}^2\\
&=(ac-bd)+(bc+ad)\text{i}
\end{align}
$$

可以看出，两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只需要把 $\text{i}^2$ 换成 $-1$，并将实部与虚部分别合并即可。

复数确实与多项式有关，因为复数域是实系数多项式环模掉 $x^2+1$ 生成的理想。（这句话不明白其实也没有关系）

复数的乘法与向量的向量积形式类似，是由于复数集是数环。

于是容易知道，**复数乘法满足交换律，结合律和对加法的分配律**，即：

$$
z_1z_2=z_2z_1\\
(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)\\
z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3
$$

由于满足运算律，我们可以发现实数域中的**乘法公式在复数域中同样适用**。

除法运算是乘法运算的逆运算，我们可以推导一下：

$$
\begin{align}
\frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}&=\frac{(a+b\text{i})(c-d\text{i})}{(c+d\text{i})(c-d\text{i})}\\
&=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\text{i} &(c+d\text{i}\not =0)
\end{align}
$$

为了分母实数化，我们乘了一个 $c-d\text{i}$，这个式子很有意义。

我们定义，当两个虚数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为**共轭复数**。通常记 $z=a+b\text{i}$ 的共轭复数为 $\bar z=a-b\text{i}$。我们可以发现，两个复数互为共轭复数，那么它们**关于实轴对称**。

由于向量没有除法，这里不讨论与向量的关系。