## 问题

给出一个图，问其中的有 $n$ 个节点构成的边权和最小的环 $(n\ge 3)$ 是多大。

### 暴力解法

设 $u$ 和 $v$ 之间有一条边长为 $w$ 的边，$dis(u,v)$ 表示删除 $u$ 和 $v$ 之间的连边之后，$u$ 和 $v$ 之间的最短路。

那么最小环是 $dis(u,v)+w$。

总时间复杂度 $O(n^2m)$。

### Dijkstra

枚举所有边，每一次求删除一条边之后对这条边的起点跑一次 Dijkstra，道理同上。

时间复杂度 $O(m(n+m)logn)$。

### Floyd

最小环是自己到自己的距离，所以我们强迫最短路出去跑一遍就行了。

怎么强迫？

对于所有的 $i$，使它自己到自己的距离为 $\infty$，也就是

```cpp
dis[i][i]=(1<<30);
```

然后利用 Floyd 的性质，跑完之后对所有的 $dis[i][i]$ 取 $\min$ 即可。

时间复杂度：$O(n^3)$

## 例题

GDOI2018 Day2 巡逻

给出一张 $n$ 个点的无负权边无向图，要求执行 $Q$ 个操作，三种操作

1. 删除一个图中的点以及与它有关的边

2. 恢复一个被删除点以及与它有关的边

3. 询问点 $x$ 所在的最小环大小

对于 50% 的数据，有 $N,Q \le 100$

对于每一个点 $x$ 所在的简单环，都存在两条与 $x$ 相邻的边，删去其中的任意一条，简单环将变为简单路径。

那么枚举所有与 $x$ 相邻的边，每次删去其中一条，然后跑一次 Dijkstra。

或者直接对每次询问跑一遍 Floyd 求最小环，$O(qn^3)$

对于 100% 的数据，有 $N,Q \le 400$

还是利用 Floyd 求最小环的算法。

若没有删除，删去询问点将简单环裂开成为一条简单路。

然而第二步的求解改用 Floyd 来得出。

那么答案就是要求出不经过询问点 $x$ 的情况下任意两点之间的距离。

怎么在线？

强行离线，利用离线的方法来避免删除操作。

将询问按照时间顺序排列，对这些询问建立一个线段树。

每个点的出现时间覆盖所有除去询问该点的时刻外的所有询问，假设一个点被询问 $x$ 次，则它的出现时间可以视为 $x + 1$ 段区间，插入到线段树上。

完成之后遍历一遍整棵线段树，在经过一个点时存储一个 Floyd 数组的备份，然后加入被插入在这个区间上的所有点，在离开时利用备份数组退回去即可。