# 线段树套线段树

### 常见用途

在算法竞赛中，我们有时需要维护多维度信息。在这种时候，我们经常需要树套树来记录信息。

### 实现原理

我们考虑用树套树如何实现在二维平面上进行单点修改，区域查询。我们考虑外层的线段树，最底层的 $1$ 到 $n$ 个节点的子树，分别代表第 $1$ 到第 $n$ 行的线段树。那么这些底层的节点对应的父节点，就代表其两个子节点的子树所在的一片区域。

### 空间复杂度

通常情况下，我们不可能对于外层线段树的每一个结点都建立一颗子线段树，空间需求过大。树套树一般采取动态开点的策略。单次修改，我们会涉及到外层线段树的 $\log{n}$ 个节点，且对于每个节点的子树涉及 $\log{n}$ 个节点，所以单次修改产生的空间最多为 $\log^2{n}$。

### 时间复杂度

对于询问操作，我们考虑我们在外层线段树上进行 $\log{n}$ 次操作，每次操作会在一个内层线段树上进行 $\log{n}$ 次操作，所以时间复杂度为 $\log^2{n}$。
修改操作，与询问操作复杂度相同，也为 $\log^2{n}$。

### 经典例题

[陌上花开](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3262) 将第一维排序处理，然后用树套树维护第二维和第三维。

### 示例代码

第二维查询

```c++
int tree_query(int k,int l,int r,int x)
{
	if (k == 0) return 0;
	if (1 <= l && r <= sec[x].y) return vec_query(ou_root[k],1,p,1,sec[x].z);
	int mid = l + r >> 1,res = 0;
	if (1 <= mid) res += tree_query(ou_ch[k][0],l,mid,x);
	if (sec[x].y > mid) res += tree_query(ou_ch[k][1],mid + 1,r,x);
	return res;
}
```

第二维修改

```c++
void tree_insert(int &k,int l,int r,int x)
{
	if (k == 0) k = ++ou_tot;
	vec_insert(ou_root[k],1,p,sec[x].z);
	if (l == r) return;
	int mid = l + r >> 1;
	if (sec[x].y <= mid) tree_insert(ou_ch[k][0],l,mid,x);
	else tree_insert(ou_ch[k][1],mid + 1,r,x);
}
```

第三维查询

```c++
int vec_query(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if (k == 0) return 0;
	if (x <= l && r <= y) return data[k];
	int mid = l + r >> 1,res = 0;
	if (x <= mid) res += vec_query(ch[k][0],l,mid,x,y);
	if (y > mid) res += vec_query(ch[k][1],mid + 1,r,x,y);
	return res;
}
```

第三维修改

```c++
void vec_insert(int &k,int l,int r,int loc)
{
	if (k == 0) k = ++tot;
	data[k]++;
	if (l == r) return;
	int mid = l + r >> 1;
	if (loc <= mid) vec_insert(ch[k][0],l,mid,loc);
	if (loc > mid) vec_insert(ch[k][1],mid + 1,r,loc);
}
```

### 相关算法

面对多维度信息的题目时，如果题目没有要求强制在线，我们还可以考虑 **CDQ 分治**，或者**整体二分**等分治算法，来避免使用高级数据结构，减少代码实现难度。