> 想体验把暴搜改改就是正解的快感吗? 想体验状压 dp 看似状态多到爆炸实际一跑却嗷嗷快 (实际有效的状态数很少) 的荣耀吗? 记忆化搜索, 符合您的需求! 只要 998 , 记忆化搜索带回家! 记忆化搜索, 记忆化搜索, 再说一遍, 记忆化搜索!

* * *

## 1. 记忆化搜索是啥

好，就以 [洛谷 P1048 采药](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1048) 为例，我不会动态规划，只会搜索，我就会直接写一个粗暴的 [DFS](/search/dfs) :

- 注: 为了方便食用, 本文中所有代码省略头文件

```cpp
int n,t;
int tcost[103],mget[103];
int ans = 0;
void dfs( int pos , int tleft , int tans ){
	if( tleft < 0 ) return;
	if( pos == n+1 ){
		ans = max(ans,tans);
		return;
	}
	dfs(pos+1,tleft,tans);
	dfs(pos+1,tleft-tcost[pos],tans+mget[pos]);
}
int main(){
	cin >> t >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cin >> tcost[i] >> mget[i];
	dfs(1,t,0);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}
```

这就是个十分智障的大暴搜是吧 ......

emmmmmm....... $\color{Red}{30}$ 分

然后我心血来潮, 想不借助任何 "外部变量"(就是 dfs 函数外且 ** 值随 dfs 运行而改变的变量 **), 比如 ans

把 ans 删了之后就有一个问题: 我们拿什么来记录答案?

答案很简单:

**返回值!**

此时 $dfs(pos,tleft)$ 返回在时间 $tleft$ 内采集 ** 后 **$pos$ 个草药, 能获得的最大收益

不理解就看看代码吧:

```cpp
int n,time;
int tcost[103],mget[103];
int dfs(int pos,int tleft){
	if(pos == n+1)
		return 0;
	int dfs1,dfs2 = -INF;
	dfs1 = dfs(pos+1,tleft);
	if( tleft >= tcost[pos] )
		dfs2 = dfs(pos+1,tleft-tcost[pos]) + mget[pos];
	return max(dfs1,dfs2);
}
int main(){
	cin >> time >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cin >> tcost[i] >> mget[i];
	cout << dfs(1,time) << endl;
	return 0;
}
```

~~emmmmmm....... 还是 $\color{Red}{30}$ 分~~

但这个时候, 我们的程序已经不依赖任何外部变量了.

然后我非常无聊, 将所有 dfs 的返回值都记录下来, 竟然发现......

**震惊, 对于相同的 pos 和 tleft,dfs 的返回值总是相同的!**

想一想也不奇怪, 因为我们的 dfs 没有依赖任何外部变量.

旁白: 像 $tcost[103]$,$mget[103]$ 这种东西不算是外部变量, 因为她们在 dfs 过程中不变.

然后?

开个数组 $mem$ , 记录下来每个 $dfs(pos,tleft)$ 的返回值. 刚开始把 $mem$ 中每个值都设成 $-1$ (代表没访问过). 每次刚刚进入一个 dfs 前 (我们的 dfs 是递归调用的嘛), 都检测 $mem[pos][tleft]$ 是否为 $-1$ , 如果是就正常执行并把答案记录到 $mem$ 中, 否则?

**直接返回 $mem$ 中的值!**

```cpp
int n,t;
int tcost[103],mget[103];
int mem[103][1003];
int dfs(int pos,int tleft){
	if( mem[pos][tleft] != -1 ) return mem[pos][tleft];
	if(pos == n+1)
		return mem[pos][tleft] = 0;
	int dfs1,dfs2 = -INF;
	dfs1 = dfs(pos+1,tleft);
	if( tleft >= tcost[pos] )
		dfs2 = dfs(pos+1,tleft-tcost[pos]) + mget[pos];
	return mem[pos][tleft] = max(dfs1,dfs2);
}
int main(){
	memset(mem,-1,sizeof(mem));
	cin >> t >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cin >> tcost[i] >> mget[i];
	cout << dfs(1,t) << endl;
	return 0;
}
```

此时 $mem$ 的意义与 dfs 相同:

> 在时间 $tleft$ 内采集 ** 后 ** $pos$ 个草药, 能获得的最大收益

这能 ac ?

能.**这就是 "采药" 那题的 AC 代码**

好我们 yy 出了记忆化搜索

#### 总结一下记忆化搜索是啥:

- 不依赖任何 **外部变量**
- 答案以返回值的形式存在, 而不能以参数的形式存在 (就是不能将 dfs 定义成 $dfs(pos ,tleft , nowans )$, 这里面的 nowans 不符合要求).
- 对于相同一组参数, dfs 返回值总是相同的

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## 2. 记忆化搜索与动态规划的关系:

有人会问: 记忆化搜索难道不是搜索?

是搜索. 但个人认为她更像 dp :

不信你看 $mem$ 的意义:

> 在时间 $tleft$ 内采集 ** 后 ** $pos$ 个草药, 能获得的最大收益

这不就是 dp 的状态?

由上面的代码中可以看出:

> $mem[pos][tleft] = max(mem[pos+1][tleft-tcost[pos]]+mget[pos]\ ,\ mem[pos+1][tleft])$

这不就是 dp 的状态转移?

个人认为:

> 记忆化搜索约等于动态规划,**(印象中) 任何一个 dp 方程都能转为记忆化搜索 **

大部分记忆化搜索的状态 / 转移方程与 dp 都一样, 时间复杂度 / 空间复杂度与 ** 不加优化的 ** dp 完全相同

比如:

$dp[i][j][k] = dp[i+1][j+1][k-a[j]] + dp[i+1][j][k]$

转为

```cpp
int dfs( int i , int j , int k ){
	边界条件
	if( mem[i][j][k] != -1 ) return mem[i][j][k];
	return mem[i][j][k] = dfs(i+1,j+1,k-a[j]) + dfs(i+1,j,k);
}
int main(){
	memset(mem,-1,sizeof(mem));
	读入
	cout << dfs(1,0,0) << endl;
}
```

* * *

## 3. 如何写记忆化搜索

### 方法 I:

1. 把这道题的 dp 状态和方程写出来
2. 根据他们写出 dfs 函数
3. 添加记忆化数组

举例:

$dp[i] = max\{dp[j]+1\}\quad 1 \leq j < i \text{且}a[j]<a[i]$  (最长上升子序列)

转为

```cpp
int dfs( int i ){
	if( mem[i] != -1 ) return mem[i];
	int ret = 1;
	for( int j = 1 ; j < i ; j++ )
		if( a[j] < a[i] )
			ret = max(ret,dfs(j)+1);
	return mem[i] = ret;
}
int main(){
	memset(mem,-1,sizeof(mem));
	读入
	cout << dfs(n) << endl;
}
```

### 方法 II:

1. 写出这道题的暴搜程序 (最好是 [dfs](/search/dfs) )
2. 将这个 dfs 改成 "无需外部变量" 的 dfs
3. 添加记忆化数组

举例: 本文最开始介绍 "什么是记忆化搜索" 时举的 "采药" 那题的例子

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## 4. 记忆化搜索的优缺点

优点:

- 记忆化搜索可以避免搜到无用状态, 特别是在有状态压缩时

举例: 给你一个有向图 (注意不是完全图), 经过每条边都有花费, 求从点 1 出发, 经过每个点 ** 恰好一次 ** 后的最小花费 (最后不用回到起点), 保证路径存在.

dp 状态很显然:

设 $dp[pos][mask]$ 表示身处在 $pos$ 处, 走过 $mask$ (mask 为一个二进制数) 中的顶点后的最小花费

常规 $dp$ 的状态为 $O(n\cdot 2^n)$ , 转移复杂度 (所有的加在一起) 为 $O(m)$

但是! 如果我们用记忆化搜索, 就可以避免到很多无用的状态, 比如 $pos$ 为起点却已经经过了 $>1$ 个点的情况.

- 不需要注意转移顺序 (这里的 "转移顺序" 指正常 dp 中 for 循环的嵌套顺序以及循环变量是递增还是递减)

举例: 用常规 dp 写 "合并石子" 需要先枚举区间长度然后枚举起点, 但记忆化搜索直接枚举断点 (就是枚举当前区间由哪两个区间合并而成) 然后递归下去就行

- 边界情况非常好处理, 且能有效防止数组访问越界
- 有些 dp (如区间 dp) 用记忆化搜索写很简单但正常 dp 很难
- 记忆化搜索天生携带搜索天赋, 可以使用技能 "剪枝"!

缺点:

- 致命伤: 不能滚动数组!
- 有些优化比较难加
- 由于递归, 有时效率较低但不至于 TLE (状压 dp 除外)

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## 5. 记忆化搜索的注意事项

- 千万别忘了加记忆化! (别笑, 认真的
- 边界条件要加在检查当前数组值是否为非法数值 (防止越界)
- 数组不要开小了 (逃

## 6. 模板

```c++
int g[MAXN]；
int f(传入数值)
{
    if (g[规模]!=无效数值)
        return g[规模];
    if (终止条件)
        return 最小子问题解;
    g[规模]=f(缩小规模);
    return g[规模];
}
int main()
{
    ...
    memset(g,无效数值,sizeof(g));
    ...
}
```