排序算法多种多样，性质也大多不同。

## 稳定性

稳定性是指相等的元素经过排序之后相对顺序是否发生了改变。

我们常用的归并排序是稳定排序，而快速排序不是稳定排序。

## 时间复杂度

时间复杂度用来衡量一个算法的运行时间和输入规模的关系，类似的有空间复杂度，用来描述算法的空间消耗的规模。

简单计算复杂度的方法一般是统计 “简单操作” 的执行次数，有时候也可以直接数循环的层数来近似估计。

时间复杂度分为最坏时间复杂度、平均时间复杂度、最好时间复杂度等等。OI 竞赛中要考虑的一般是最坏时间复杂度，因为它代表的是算法运行水平的下界，在评测中不会出现更差的结果了。

基于比较的排序算法的时间复杂度下限是 $O(n\log n)$ 的。

当然也有不是 $O(n\log n)$ 的，桶排序的时间复杂度是 $O(n)$，但是它是在「用空间换时间」，它的空间复杂度是 $O($所排序的最大数$)$

## 冒泡排序

冒泡排序是一种稳定的排序方法。

以升序为例，冒泡排序每次检查相邻两个元素，如果前面的元素大于后面的元素，就将相邻两个元素交换。当没有相邻的元素需要交换时，排序就完成了。

不难发现，我们最多需要扫描$n$遍数组才能完成排序。

```c++
void bubble_sort()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        bool flag=false;
        for(int j=1;j<n;j++)
            if(a[j]>a[j+1])
            {
                flag=true;
                int t=a[j];
                a[j]=a[j+1];
                a[j+1]=t;
            }
        if(!flag)break;//如果没有执行交换操作，说明数列已经有序
    }
}
```

在序列完全有序时，该算法只需遍历一遍数组，不用执行任何交换操作，时间复杂度为$O(n)$。在最坏情况下，冒泡排序要执行$(n-1) \* n/2$次交换操作，时间复杂度为$O(n^2)$。在平均情况下，冒泡排序的时间复杂度也是$O(n^2)$。

## 归并排序

归并排序是 [分治](/basic/divide-and-conquer) 地来将一个数组排序。

归并排序分为三个过程：

1. 将数列划分为两部分（直接分，而不是像快速排序那样要求保证相对大小关系）
2. 递归到两个子序列中分别进行归并排序
3. 合并两个子序列

不难发现，归并排序的核心是如何合并两个子序列，前两步都很好实现。

其实合并的时候也不难操作。注意到两个子序列在第二步中已经保证了都是有序的了，第三步中实际上是想要把两个 **有序** 数列合并起来。

```c++
void merge(int ll, int rr) {
  // 用来把 a[ll.. rr - 1] 这一区间的数排序。 t 数组是临时存放有序的版本用的。
  if (rr - ll <= 1) return;
  int md = ll + (rr - ll >> 1);
  merge(ll, md); merge(md, rr);
  int p = ll, q = md, s = ll;
  while (s < rr) {
    if (p >= md || (q < rr && a[p] > a[q])) {
      t[s++] = a[q++];
      // ans += md - p;
    } else t[s++] = a[p++];
  }
  for (int i = ll; i < rr; ++i) a[i] = t[i];
}
```

由于 `||` 是短路运算符，这里面 if 判断的情况是 “第一部分已经完全合并完了” 或者 “两个都没有合并完，且前一个的队首要大于后一个”，这两种情况都是要把后一个子序列的队首放到新序列的当前位置中。

### 逆序对

归并排序还可以用来求逆序对的个数。

所谓逆序对，就是数对 $(i, j)$，满足 $a[i] > a[j]$ 且 $i < j$。

可以用 [树状数组](/ds/bit)、[线段树](/ds/segment/) 等数据结构来求，也可以用归并排序来求。

具体来说，上面归并排序中间注释掉的 `ans += md - p` 就是在统计逆序对个数。

是因为，那里把靠后的数放到前面了（较小的数放在前面），所以这个数的原来位置以前的、比它大的数都会和他形成逆序对，而这个个数就是还没有合并进去的数的个数，即为 `md - p`。

使用归并排序求逆序对的时间复杂度也是$O(n \log n)$。

### 参考

<https://www.geeksforgeeks.org/merge-sort/>

## 快速排序

快速排序是 [分治](/basic/divide-and-conquer) 地来将一个数组排序。

快速排序分为三个过程：

1. 将数列划分为两部分（不是直接分，要求保证相对大小关系）
2. 递归到两个子序列中分别进行快速排序
3. 不用合并，因为此时数列已经完全有序

和归并排序不同，第一步并不是直接分成前后两个序列，而是在分的过程中要保证相对大小关系。

第三步中的序列已经分别有序且第一个序列中的数都小于第二个数，所以直接拼接起来就好了。

具体来说，第一步要是要把数列分成两个部分，然后保证前一个子数列中的数都小于后一个子数列中的数。

怎么操作呢？为了保证平均时间复杂度，一般是随机选择一个数 m 来当做两个子数列的分界。

之后，维护一前一后两个指针 p 和 q，依次考虑当前的数是否放在了应该在的位置（前还是后），当前位置放对了之后，再移动指针继续处理，直到两个指针相遇。

如果当前的数没放对呢？比如说如果后面的指针 q 遇到了一个比 m 小的数，那么可以交换 p 和 q 位置上的数，再把 p 向后移一位。

其实，快速排序没有指定应如何具体实现第一步，不论是选择 m 的过程还是划分的过程，都不是只有一种实现方法。

注意，一般我们说的快速排序的时间复杂度是平均为 $O(N\log N)$，最坏是 $O(n^2)$，只不过实践中几乎不可能达到最坏情况。

其实，在选择 m 的过程中使用 [Median of Medians](https://en.wikipedia.org/wiki/Median_of_medians) 算法，就可以保证最坏时间复杂度为 $O(N\log N)$，但是由于 j 小微复杂，实践中一般不使用。

### STL

C 函数模板库实现了快速排序，即 `stdlib.h` 当中的 `qsort`。

但在 OI 相关比赛当中，更为常见的库排序函数是 C++ `algorithm` 库中的 `std::sort` 函数。

C++ 标准并未严格要求此函数的实现算法，具体实现取决于编译器。

旧版 C++ 标准中仅要求它的 **平均** 时间复杂度是 $O(N\log N)$ 的，但在 C++11 中要求它的 **最坏** 时间复杂度是 $O(N\log N)$ 的。可以查阅 [std::sort()](https://en.cppreference.com/w/cpp/algorithm/sort)

在 [libstdc++](https://github.com/mirrors/gcc/blob/master/libstdc++-v3/include/bits/stl_algo.h) 和 [libc++](http://llvm.org/svn/llvm-project/libcxx/trunk/include/algorithm) 中使用的都是 [Introsort](https://en.wikipedia.org/wiki/Introsort)。

Introsort 限制了快速排序的分治深度，当分治达到一定深度之后，改用最坏时间复杂度为 $O(N\log N)$ 的排序算法（比如堆排序）来给子数组排序。

Introsort 的这个限制使得它的最坏时间复杂度是 $O(N\log N)$ 的。

快速用法：

```c++
// a[0] .. a[n - 1] 是放了元素的
std::sort(a, a + n);
// 这句代码直接修改 a 数组里的元素顺序，使得现在它是从小到大排列的
```

### 线性找第 k 大的数

找第 k 大的数，最简单的方法是先排序，然后直接找到第 k 大的位置的元素。这样做的时间复杂度是 $O(N\log N)$，对于这个问题来说很不划算。事实上，我们有 $O(n)$ 的解法。

考虑快速排序的划分过程，在快速排序的 “划分” 结束后，数列 $A[p \cdots r]]$ 被分成了 $A[p \cdots q]$ 和 $A[q+1 \cdots r]$，此时可以按照左边元素的个数（$q - p + 1$）和 k 的大小关系来判断是只在左边还是只在右边递归地求解。

可以证明，在期望意义下，程序的时间复杂度为 $O(n)$。

### 参考

<https://stackoverflow.com/questions/22339240/what-algorithms-are-used-in-c11-stdsort-in-different-stl-implementations>

<https://en.cppreference.com/w/cpp/algorithm/sort>

## 计数排序

计数排序可以在 $O(n)$ 的时间内排序，但是它要求所有的数都出现在一定的范围内。

!!! warning "注"
    注意区分 ** 基数排序 **

算法流程顾名思义，就是记录每一个数出现了多少次，然后从小到大依次输出。

一般考虑的是某一范围内的整数，但是计数排序也可以和 [离散化](/misc/discrete) 一起使用，来对浮点数、大整数进行计数排序。

### 参考

<http://atool.org/sort.php> ATool 的排序演示动画  
<https://www.geeksforgeeks.org/counting-sort/>   

## 排序的应用

借助排序，我们可以降低求解问题所需要的时间复杂度。

考虑一个数列，你需要检查其中是否有元素相等。

一个朴素的做法是检查每一个数对，并判断这一对数是否相等。时间复杂度是 $O(n^2)$。

我们不妨先对这一列数排序，之后不难发现：如果有相等的两个数，它们一定在新数列中处于相邻的位置上。这时，只需要 $O(n)$ 地扫一遍新数列了。总的时间复杂度是排序的复杂度（$O(n\log n)$）。

排序也是 [二分查找](/basic/binary/) 所要做的预处理工作。在排序后使用 [二分查找](/basic/binary/)，我们可以在 $O(\log n)$ 的时间内在序列中查找指定的元素。