# 数学·知识综述 识别卡 2.0

- **层级**: 清洗重建（待重验）
- **状态**: pending（清洗重建 · 待重新验证）
- **领域**: 数学
- **教育层级**: E2（初中）· 分布：骨架 284 知识点

## 核心主张

数学（清洗重建 284 知识点）：现象+规律，规律性出现即知识。

## 条件空间

- **观测位置**: 数学（初中层）外部观测位
- **观测工具**: 课标骨架/规律性清洗 + 现象规律性判定
- **时间窗口**: (0.0, 9999999999.0)
- **存在约束**: 初中学段知识按课标骨架定位；通用现象/规律不受版权保护

## 出招

- **触发**: 涉及数学议题
- **行动**: 以数学知识点（初中层）回应
- **克制**: 越级使用高于初中层级的未学概念

## 知识点内容（按骨架填充）

### n维向量

n维向量：n个数组成的有序数组。向量运算：加法、数乘。向量空间：对加法数乘封闭。n维向量空间的基含n个线性无关向量。

### 一元一次不等式

含有一个未知数的不等式叫一元一次不等式。不等式两边同乘或同除负数，不等号方向要改变。

### 一元一次方程

含有一个未知数、未知数的次数是1的方程叫一元一次方程。解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

### 一元二次不等式

ax方加bx加c大于0（a大于0）的解集：判别式大于0时两根之外，等于0时x不等于根，小于0时全体实数。解不等式要结合二次函数图像。

### 一元二次方程

ax平方加bx加c等于0（a不为0）叫一元二次方程。可以用配方法、公式法、因式分解法求解。判别式b平方减4ac决定根的情况。

### 一次函数

y等于kx加b（k不为0）是一次函数。一次函数的图像是一条直线。k决定直线的倾斜方向，b决定与y轴的交点。

### 一阶微分方程

一阶微分方程：dy除以dx等于f(x,y)。通解含一个任意常数。可分离变量方程：g(y)dy等于h(x)dx两边积分。齐次方程：dy除以dx等于φ(y除以x)令u等于y除以x。

### 一阶线性方程

一阶线性微分方程：y'加P(x)y等于Q(x)。通解公式：y等于e的负∫P dx次方乘(∫Q e的∫P dx次方dx加C)。齐次（Q等于0）和非齐次的解法。

### 三角函数定义

在单位圆上，sinθ是终边与单位圆交点的纵坐标，cosθ是横坐标，tanθ等于sinθ除以cosθ。三角函数具有周期性。

### 三角形

三角形任意两边之和大于第三边。三角形内角和是180度。三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

### 三角形分类

三角形按角分，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分，有等边三角形、等腰三角形。三角形有三条边三个角。

### 三角形面积

三角形的面积等于底乘高除以2。两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，所以三角形面积是平行四边形的一半。

### 三角恒等变换

两角和差公式、二倍角公式：sin2α等于2sinαcosα，cos2α等于cos方α减sin方α。恒等变换是化简和求值的工具。

### 三重积分

三重积分：∫∫∫f(x,y,z)dV。计算：直角坐标（先一后二或先二后一）、柱坐标（r dz dr dθ）、球坐标（r方sinφ dr dφ dθ）。选择坐标系根据积分区域对称性。

### 不定积分

不定积分：求导的逆运算，∫f(x)dx等于F(x)加C（F'等于f）。基本积分公式。不定积分的性质：线性性。原函数存在定理：连续函数存在原函数。

### 不等式组

几个不等式合在一起叫不等式组。不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分，同大取大，同小取小。

### 两个重要极限

两个重要极限：sinx除以x在x趋于0时等于1；x趋于无穷时(1加1/x)的x次方等于e。重要极限用于求三角和指数型极限。

### 中位数

把数据从小到大排列，最中间的数（或中间两个的平均数）叫中位数。中位数不受极端值影响。

### 中值定理

中值定理：罗尔定理（端点值相等则存在导数为0的点）、拉格朗日中值定理（存在点使导数等于割线斜率）、柯西中值定理。中值定理联系函数值与导数，是微分学理论基础。

### 中心极限定理

中心极限定理：大量独立同分布随机变量之和近似服从正态分布。独立同分布中心极限定理、棣莫弗拉普拉斯定理（二项分布正态近似）。中心极限定理解释了正态分布的重要性。

### 乘除法

几个相同的数相加，可以用乘法，乘法是加法的简便算法。把一个数平均分成几份，求每份是多少用除法。乘法口诀帮助我们算得快。

### 二元一次方程组

含有两个未知数、每个方程的次数都是1的方程组叫二元一次方程组。用代入消元法或加减消元法求解。

### 二分法

用二分法求零点近似值：不断取区间中点，根据函数值符号缩小零点所在区间，直到精度满足要求。

### 二次函数

y等于ax平方加bx加c（a不为0）是二次函数。二次函数的图像是抛物线，开口方向由a决定，顶点是最值点。

### 二次型

二次型：n个变量的二次齐次多项式，f(x)等于x转置Ax（A对称）。二次型与对称矩阵一一对应。合同变换：P转置AP保持二次型。

### 二次根式

形如√a且a不小于0的式子叫二次根式。二次根式的被开方数必须非负。√a的平方等于a的绝对值。

### 二重积分

二重积分：∫∫f(x,y)dxdy，表示曲顶柱体体积。计算：直角坐标（先y后x或先x后y，确定积分限）、极坐标（r dr dθ，适用圆域和含x方加y方）。性质：线性、区域可加、中值定理。

### 二阶常系数线性方程

二阶常系数线性方程：y''加py'加qy等于f(x)。齐次：特征方程r方加pr加q等于0，根的情况决定通解（两个不同实根、重根、共轭复根）。非齐次：特解用待定系数法。

### 二项分布

二项分布X~B(n,p)：n次独立重复试验成功k次的概率。P(X等于k)等于C(n,k)p的k次方(1减p)的(n减k)次方。期望np，方差np(1减p)。二项分布是最重要的离散分布。

### 二项式定理

(a加b)的n次方展开式各项系数是组合数，第k加1项等于C(n,k)乘a的(n减k)次方乘b的k次方。二项式系数有对称性。

### 交错级数

交错级数：莱布尼茨判别法（通项单调递减趋于0则收敛）。交错级数的余项估计：余项绝对值不超过第一项。条件收敛与绝对收敛：绝对收敛必收敛。

### 人民币单位

元、角、分是人民币的单位。1元等于10角，1角等于10分。买东西找钱要用到人民币的换算。

### 代数式

用运算符号把数和字母连接起来的式子叫代数式。代数式的值随字母的取值而变化。

### 任意角

角可以任意大，正角逆时针旋转，负角顺时针旋转。角的终边可以落在任何象限，终边相同的角相差360度的整数倍。

### 众数

一组数据中出现次数最多的数叫众数。众数可以不止一个。众数反映数据的集中趋势。

### 估算

买东西时不用算出准确的钱数，大约估一估，这叫估算。估算时把数看成接近的整十、整百数再算。

### 位似

两个图形形状相同、对应边平行、对应点连线交于一点（位似中心），是位似图形。位似比等于相似比。

### 位置与方向

用东南西北可以描述方向。太阳升起的方向是东，落下的方向是西。描述位置要说清方向。

### 体积

物体占空间的大小叫体积。长方体的体积等于长乘宽乘高，正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长。体积用体积单位来量。

### 体积单位

量体积用立方厘米、立方分米、立方米。1立方米等于1000立方分米，1立方分米等于1000立方厘米。容器能装多少东西叫容积。

### 假设检验

假设检验：原假设H0和备择假设H1。检验统计量、拒绝域、显著性水平α。两类错误：弃真（第一类）和取伪（第二类）。p值：拒绝原假设的最小显著性水平。t检验、卡方检验、F检验。

### 偏导数

偏导数：对一个变量求导其余变量视为常数。fx(x0,y0)表示沿x方向的斜率。高阶偏导数：二阶混合偏导在连续条件下相等（fxy等于fyx）。

### 傅里叶级数

傅里叶级数：周期函数展开为正弦余弦级数。狄利克雷条件：逐段光滑周期函数可展开，间断点处收敛于左右极限平均。傅里叶系数公式。奇函数展开正弦级数，偶函数展开余弦级数。

### 充分条件必要条件

若p则q成立，p是q的充分条件；若q则p成立，p是q的必要条件。充要条件：p能推出q且q能推出p。

### 克拉默法则

克拉默法则：系数行列式不为0时，n元线性方程组有唯一解，第j个未知数等于把系数行列式第j列换成常数列后的行列式除以系数行列式。克拉默法则给出解的公式表达。

### 全微分

全微分：dz等于fx dx加fy dy，是函数增量关于自变量的线性主部。可微的充分条件：偏导数连续。全微分用于多元近似计算。

### 全概率贝叶斯公式

全概率公式：P(B)等于ΣP(Ai)P(B|Ai)，把复杂事件分解。贝叶斯公式：P(Ai|B)等于P(Ai)P(B|Ai)除以ΣP(Aj)P(B|Aj)，后验概率等于先验乘似然归一化。贝叶斯公式是统计推断的基础。

### 全称量词存在量词

所有的、任意的叫全称量词，存在的、至少有一个叫存在量词。含全称量词的命题否定后变成存在量词命题。

### 全等三角形

两个三角形对应边相等、对应角相等，是全等三角形。判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）。

### 凹凸性与拐点

凹凸性：f''(x)大于0曲线凹向上（下凸），小于0凹向下。拐点：凹凸性改变的点，二阶导数为0或不存在且两侧变号。渐近线：水平、垂直、斜渐近线。

### 函数与方程不等式

函数与x轴交点的横坐标是方程的解。函数图像在x轴上方的部分对应的x是不等式的解集。

### 函数图像

函数的图像直观反映函数的变化。图像上的点满足函数解析式。通过图像可以看函数的增减性。

### 函数图像变换

函数图像可以平移、对称、伸缩。y等于f(x)加a向上平移，y等于f(x减a)向右平移，y等于负f(x)关于x轴对称。

### 函数性质

函数有单调性、奇偶性、周期性。单调递增时x大y也大；奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

### 函数极限

函数极限：x趋于x0时f(x)趋于A。左右极限存在且相等是极限存在的充要条件。极限的四则运算法则：和差积商的极限等于极限的和差积商（分母极限不为0）。

### 函数概念

函数是数集到数集的映射，每个x对应唯一y。定义域是x的允许取值集合，值域是y的取值范围。函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

### 分块矩阵

分块矩阵：把矩阵分成子块，按块进行运算。分块对角矩阵：对角线是子块。分块矩阵乘法、求逆。分块技巧简化大矩阵运算。

### 分布函数

分布函数F(x)等于P(X小于等于x)，单调不减、右连续、F(负无穷)等于0、F(正无穷)等于1。分布函数完整描述随机变量。离散型的分布函数是阶梯函数，连续型的是密度积分。

### 分布列

随机变量取各个值的概率列表叫分布列。分布列的性质：各概率非负且和为1。分布列完整描述随机变量。

### 分式

分母中含有字母的式子叫分式。分式的分母不能为0。分子分母同乘或同除同一个不为0的整式，分式的值不变。

### 分式方程

分母中含有未知数的方程叫分式方程。解分式方程要化为整式方程，且必须检验，增根要舍去。

### 分数

把一个苹果平均分成两份，每份是它的二分之一。分数表示把整体平均分成几份，取其中的几份。

### 分数的加减乘除

同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。分数乘分数，分子乘分子，分母乘分母。除以一个分数等于乘它的倒数。

### 分步乘法原理

完成一件事分n步，每步分别有n1、n2种方法，总方法数等于各方法数相乘，乘法计数。分步要每步都完成。

### 分类加法原理

完成一件事有m类办法，每类分别有n1、n2种方法，总方法数等于各方法数之和，加法计数。

### 分部积分

分部积分：∫u dv等于uv减∫v du。适用：幂函数乘指数、幂函数乘三角、幂函数乘对数、指数乘三角（循环）。选u的原则：对易求导的选u，易积分的选dv。

### 列方程解决问题

有些问题用方程解更方便。先设未知数为x，再根据等量关系列方程，最后解方程。方程能把复杂问题变简单。

### 创新意识

从不同角度思考问题，寻找新的解决方法，是创新意识。一题多解是培养创新意识的方法。

### 初等变换

初等变换：交换两行、某行乘非零数、某行加另一行的倍数。初等变换不改变矩阵的秩。行阶梯形、行最简形。用初等行变换求逆、解方程组。

### 加减法

把两个数合起来用加法，加法的结果叫和。从一些东西里拿走一部分用减法，减法的结果叫差。减法可以用加法来验算。

### 勾股定理

在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，a平方加b平方等于c平方。勾股定理的逆定理：满足a平方加b平方等于c平方的三角形是直角三角形。

### 区间估计

区间估计：构造置信区间使参数以置信水平1减α落入。置信区间的构造：枢轴量法。正态总体均值的置信区间（σ已知用正态，σ未知用t分布）。置信区间反映估计精度。

### 协方差相关系数

协方差Cov(X,Y)等于E[(X减E(X))(Y减E(Y))]，反映两个变量协同变化。相关系数ρ等于协方差除以标准差乘积，范围负1到1。ρ等于正负1时线性相关。独立则协方差为0（反之不一定）。

### 单位换算

大单位换成小单位要乘进率，小单位换成大单位要除以进率。比如3米等于300厘米，5000克等于5千克。

### 单调性与极值

单调性判定：f'(x)大于0函数递增，小于0递减。极值判定：驻点（导数为0）或不可导点两侧导数变号。第一充分条件（变号）和第二充分条件（二阶导数符号）。

### 单调性判定

f'(x)大于0则函数递增，小于0则递减。导数符号变化判断单调区间。驻点（导数为0的点）是极值候选。

### 双曲线

双曲线是到两定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹。标准方程：x方除以a方减y方除以b方等于1，渐近线y等于正负(b/a)x，离心率e大于1。

### 反常积分

反常积分：无穷限积分（上限或下限为无穷）和无界函数积分（瑕积分）。收敛性判断：比较判别法、极限比较判别法。p积分收敛性：1除以x的p次方从1到无穷，p大于1收敛。

### 反比例

两种量，一种变大另一种反而变小，乘积一定，叫反比例。比如路程一定，速度和时间成反比例。

### 反比例函数

y等于k除以x（k不为0）是反比例函数。反比例函数的图像是双曲线，k大于0时两支在一三象限，k小于0时在二四象限。

### 变量与函数

在一个变化过程中，x取一个值时y有唯一确定的值对应，y是x的函数。函数有三种表示：解析式、列表、图像。

### 古典概型

每个基本事件等可能发生且总数为有限个。概率等于有利事件数除以基本事件总数。计算用排列组合。

### 可分离变量

可分离变量方程：dy除以dx等于g(x)h(y)，分离变量后两边积分得到通解。解微分方程的基本思路是分离变量和化成已知类型。

### 可能性

掷硬币正面朝上的可能性和反面一样大。可能性有大有小，用一定、可能、不可能描述。

### 向量应用

用向量可以证明几何关系：两向量垂直则数量积为0，平行则成比例。向量在解三角形、物理中广泛应用。

### 向量数量积

a点乘b等于绝对值a乘绝对值b乘cosθ，数量积是标量。a垂直b时数量积为0。数量积满足交换律、分配律。

### 向量概念

既有大小又有方向的量叫向量。向量用有向线段表示，绝对值a表示大小，方向由箭头表示。零向量方向任意。

### 向量法求角

异面直线所成角用向量夹角余弦的绝对值；线面角用向量与法向量夹角互余；二面角用两法向量夹角。

### 向量法求距离

点到平面的距离等于向量在法向量方向投影的绝对值。向量法把立体几何问题代数化，降低空间想象难度。

### 向量组秩

向量组秩：向量组的极大无关组所含向量的个数。向量组线性无关则秩等于向量个数。矩阵的秩等于行向量组和列向量组的秩。

### 向量运算

向量加法满足平行四边形法则和三角形法则，减法等于加上相反向量。数乘向量改变大小和方向（负数反向）。

### 周长

图形一周的长度叫周长。长方形的周长等于长加宽的和乘2。正方形的周长等于边长乘4。圆的周长等于直径乘圆周率。

### 四则混合运算

有加有减有乘有除的算式，要先算乘除，再算加减；有括号先算括号里的。这就是运算顺序。

### 四边形

四边形有四条边四个角。长方形对边相等四个角都是直角，正方形四条边都相等。平行四边形对边平行且相等。

### 回归分析

回归分析：研究变量之间相关关系。一元线性回归：y等于a加bx加ε，最小二乘法估计参数。回归系数检验、拟合优度R方。多元回归、逐步回归。

### 因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。提公因式法和公式法是基本方法。

### 圆

圆上各点到圆心的距离等于半径。同圆中直径是最长的弦。等圆心角对等弧、等弦。

### 圆柱圆锥

圆柱有两个圆形的底面和一个曲面，体积等于底面积乘高。圆锥有一个底面和一个顶点，体积是等底等高圆柱的三分之一。

### 圆的周长与面积

圆的周长等于直径乘圆周率，圆周率大约是3.14。圆的面积等于半径乘半径乘圆周率。圆周率是圆的周长和直径的比，永远不变。

### 圆的方程

标准方程：(x减a)方加(y减b)方等于r方，圆心(a,b)半径r。一般方程：x方加y方加Dx加Ey加F等于0，D方加E方减4F大于0。

### 均匀指数正态分布

常见连续分布：均匀分布U(a,b)（密度为常数）；指数分布E(λ)（无记忆性，寿命模型）；正态分布N(μ,σ方)（钟形曲线，标准化：Z等于(X减μ)除以σ服从N(0,1)）。

### 坐标与图形位置

点的坐标确定点的位置。已知坐标可以在坐标系中描点。坐标系可以描述几何图形的位置。

### 坐标与图形运动

图形平移时，点的坐标变化有规律：左右平移x变，上下平移y变。关于x轴、y轴、原点对称，坐标有相应变化。

### 垂直判定与性质

线面垂直判定：直线垂直平面内两条相交直线。面面垂直判定：一个平面过另一个平面的垂线。垂直是立体几何核心。

### 基本不等式

对于正数a、b，a加b大于等于2倍根号ab，当且仅当a等于b时取等号。基本不等式用于求最值，一正二定三相等。

### 复合函数求导

多元复合函数求导：链式法则，z对x的偏导等于z对u偏导乘u对x偏导加z对v偏导乘v对x偏导。全导数：中间变量都是x的函数时。隐函数存在定理。

### 复平面

复数a加bi对应复平面上的点(a,b)。实轴是x轴，虚轴是y轴。复数的模等于根号(a方加b方)。共轭复数关于实轴对称。

### 复数三角表示

复数z等于a加bi可以写成三角形式z等于r(cosθ加isinθ)，r是模，θ是辐角。复数的乘法模相乘辐角相加。欧拉公式联系指数与三角。

### 复数四则运算

复数加减是实部虚部分别相加减。复数乘法按多项式展开，用i方等于负1化简。复数除法分子分母同乘共轭复数。

### 复数概念

形如a加bi（a、b为实数，i方等于负1）的数叫复数。a是实部，b是虚部。b不为0时是虚数，b等于0时是实数。

### 多元函数极限连续

多元函数极限：点(x,y)趋于(x0,y0)时f趋于A，要求沿任意路径趋于都收敛到A。多元连续：极限等于函数值。多元初等函数在定义域内连续。

### 多元极值

多元极值：无条件极值用偏导数为0找驻点，用二阶偏导判别（AC减B方）。条件极值用拉格朗日乘数法（引入乘数λ构造辅助函数）。最值在驻点和边界取得。

### 大小比较

比较数的大小时，位数多的数大；位数相同，从高位比起。比如35比28大，因为十位上3比2大。

### 大数定律

大数定律：大量重复试验中，频率稳定于概率；样本均值稳定于期望。切比雪夫大数定律、辛钦大数定律。大数定律是频率学派统计的基础。

### 定积分应用

定积分应用：平面图形面积（上下函数差积分）、旋转体体积（π乘f(x)平方积分）、曲线弧长、旋转体侧面积、物理应用（功、压力、质心）。

### 定积分概念

定积分：∫f(x)dx从a到b，是曲边梯形的面积，分割求和取极限。定积分性质：线性性、区间可加性、保号性（非负函数积分非负）、估值定理。

### 定积分计算

定积分计算：牛顿莱布尼茨公式、换元法（换元要换限）、分部积分。对称区间上奇函数积分为0，偶函数积分为2倍半区间。周期函数积分。

### 实对称矩阵

实对称矩阵性质：特征值全为实数；不同特征值对应特征向量正交；存在正交矩阵Q使Q转置AQ为对角阵（正交对角化）。实对称矩阵必可对角化。

### 实数

有理数和无理数统称实数。无理数是无限不循环小数，比如π和√2。实数与数轴上的点一一对应。

### 容积

容器能容纳东西的多少叫容积。容积的单位是升和毫升，1升等于1000毫升。油桶能装多少油是油桶的容积。

### 对数函数

y等于log以a为底x（a大于0且a不等于1）叫对数函数，定义域是正实数。对数函数是指数函数的反函数，图像过(1,0)点。

### 对称

图形对折后两边重合叫对称。对称的图形两边一样。很多建筑物、图案都是对称的，看起来很美。

### 导数几何意义

f'(x0)是曲线y等于f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。切线方程：y减f(x0)等于f'(x0)(x减x0)。

### 导数应用

导数解决最大利润、最小成本等优化问题。导数研究函数图像，凹凸性与拐点。

### 导数概念

导数：函数在某点的变化率，f'(x0)等于lim[f(x0加Δx)减f(x0)]除以Δx。几何意义：切线斜率。可导必连续，连续不一定可导。导数是微分学的核心概念。

### 小数

把一个东西平均分成10份，每份是0.1。像0.5、1.25这样的数是小数，小数点前面的数表示几个，后面的表示几分。

### 小数运算

小数加减法要把小数点对齐。小数乘法先按整数算，再点小数点。计算小数时要注意小数点的位置。

### 展开定理

行列式按行（列）展开：某行元素乘对应代数余子式之和等于行列式值；异行元素乘本行代数余子式之和等于0。代数余子式带符号（负1的i加j次方）。展开定理是行列式计算的一般方法。

### 常数项级数

常数项级数：Σan。收敛：部分和数列有极限。级数收敛的必要条件：通项趋于0（不满足则发散）。调和级数发散。几何级数收敛性：公比绝对值小于1收敛。

### 幂函数

形如y等于x的α次方（α为常数）叫幂函数。幂函数在第一象限的图像性质由α决定。

### 幂级数

幂级数：Σan(x减x0)的n次方。收敛半径R：比值或根值法求。收敛区间：(-R加x0, R加x0)，端点单独判断。幂级数在收敛区间内可逐项求导逐项积分。函数展开成幂级数（泰勒级数）。

### 平均数

算术平均数等于数据之和除以数据个数。加权平均数考虑每个数据的权重。平均数反映数据平均水平。

### 平移

平移前后图形全等，对应点连线平行且相等。平移的方向和距离决定平移后的位置。

### 平行判定与性质

线面平行判定：线线平行则线面平行。面面平行判定：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面。

### 平行四边形

平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

### 平行四边形面积

平行四边形的面积等于底乘高。平行四边形可以剪拼成长方形，面积不变，所以用底乘高。

### 平面图形

长方形、正方形、三角形、圆形都是平面图形。平面图形是平平的，只有长和宽。不同图形有不同的边和角。

### 平面直角坐标系

平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴组成坐标系。点用有序数对表示。x轴y轴把平面分成四个象限。

### 应用意识

数学知识可以解决生活中的问题。遇到问题想到用数学方法，就是有应用意识。

### 弧度制

把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫1弧度。π弧度等于180度。弧度与度数可以换算。

### 微分

微分：dy等于f'(x)dx，是函数增量的线性主部。可微与可导等价。微分用于近似计算：f(x0加Δx)约等于f(x0)加f'(x0)Δx。一阶微分形式不变性。

### 微分方程应用

微分方程应用：建模——建立方程、求解、解释。典型模型：指数增长（人口、放射性衰变）、牛顿冷却定律、弹簧振动、RL电路。应用体现了微分方程描述动态过程的威力。

### 微积分基本定理

微积分基本定理（牛顿莱布尼茨公式）：∫f(x)dx从a到b等于F(b)减F(a)。变上限积分函数：F(x)等于∫f(t)dt从a到x，F'(x)等于f(x)。基本定理连接微分与积分。

### 扇形统计图

用扇形表示各部分占总体的百分比，叫扇形统计图。整个圆表示整体，每个扇形表示一部分。

### 折线统计图

用点和线表示数据的变化，叫折线统计图。折线图能看出数据是上升还是下降。

### 抛物线

抛物线是到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹。y方等于2px，焦点(p/2,0)，准线x等于负p/2。

### 抽样分布

抽样分布：统计量的分布。样本均值服从正态分布（总体正态时）；卡方分布（平方和）；t分布（标准正态除以卡方）；F分布（两个卡方之比）。抽样分布是参数估计和假设检验的基础。

### 抽样调查

从总体中抽取一部分个体进行调查，叫抽样调查。样本要具有代表性，随机抽样是常用的方法。

### 指数函数

y等于a的x次方（a大于0且a不等于1）叫指数函数。指数函数的图像过(0,1)点，a大于1时单调递增，0小于a小于1时单调递减。

### 换元积分

换元积分：第一类换元（凑微分，∫f(φ(x))φ'(x)dx令u等于φ(x)）和第二类换元（去根号，如三角代换x等于a sin t）。换元后要回代。

### 排列

从n个不同元素中取出m个按顺序排列，排列数A(n,m)等于n!除以(n减m)!。排列与顺序有关。

### 探索规律

1、2、3、4、5每次多1，2、4、6、8每次多2。找规律就是发现数量变化的规律，找到规律就能预测下一个。

### 收集与整理

收集数据可以用画正字的方法。整理数据可以画表格。数据整理后看得更清楚。

### 放大与缩小

图形可以按比例放大或缩小。放大缩小后形状不变，大小变。地图就是实际世界的缩小。

### 数位与计数单位

数位就是数字站的位置，个位、十位、百位、千位、万位。计数单位是个、十、百、千、万。同一个数字站的位置不同，表示的大小不同。

### 数列极限

数列极限：当n无限增大时，数列an无限接近常数A，则lim an等于A。极限存在则唯一。收敛数列有界。保号性：极限为正则从某项起为正。

### 数列概念

按一定顺序排列的一列数叫数列。数列的第n项用an表示。数列可以看作定义在正整数集上的函数。

### 数列求和

等差数列求和：Sn等于(a1加an)n除以2。等比数列求和（q不等于1）：Sn等于a1(1减q的n次方)除以(1减q)。错位相减、裂项相消是常用方法。

### 数学建模活动

把生活中的问题变成数学问题，用数学方法解决，叫建模。比如算购物总价就是简单建模。

### 数学归纳法

证明与正整数n有关的命题：先证n等于1成立，再假设n等于k成立推n等于k加1成立，两步都完成则命题对一切n成立。

### 数学期望

期望E(X)：随机变量的加权平均。离散：Σxk pk。连续：∫x f(x)dx。期望的性质：线性（E(aX加bY)等于aE(X)加bE(Y)）。期望反映平均水平。

### 数对

用两个数可以确定一个位置，叫数对。比如3,5表示第3列第5行。看电影座位号就是数对。

### 数据分类

把东西按一定标准分类，可以更容易数清楚。比如把水果按颜色分类。分类的标准不同，结果不同。

### 数据的收集

收集数据的方法有普查和抽样调查。普查全面但耗时，抽样调查省时但可能有误差。

### 整式

单项式和多项式统称整式。单项式的次数是所有字母指数之和，多项式的次数是次数最高项的次数。

### 整数

1、2、3、4、5都是整数，整数可以表示东西有多少个。数数的时候一个接一个地数。

### 斯托克斯公式

斯托克斯公式：∮P dx加Q dy加R dz等于∫∫(旋度在曲面法向的投影)dS。联系曲线积分与曲面积分。旋度描述场的旋转程度。

### 方向导数与梯度

方向导数：函数沿某方向的变化率，等于梯度与方向单位向量的内积。梯度grad f等于(fx,fy)，方向是函数增长最快的方向，模是最大变化率。

### 方差

方差D(X)等于E[(X减E(X))方]，反映分散程度。计算公式：D(X)等于E(X方)减(E(X))方。性质：D(aX加b)等于a方D(X)；独立变量和的方差等于方差和。标准差是方差的平方根。

### 旋转

图形绕旋转中心旋转，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。旋转不改变图形的大小和形状。

### 无穷小无穷大

无穷小：极限为0的变量。无穷大：绝对值无限增大。无穷小与有界函数的乘积是无穷小。等价无穷小替换（x趋于0时sinx等价x、tanx等价x、ln(1加x)等价x）。

### 时间单位

1分钟等于60秒，1小时等于60分钟，1天等于24小时，1年有12个月。钟面上时针走一圈是12小时，分针走一圈是60分钟。

### 曲线积分

曲线积分：第一类（对弧长，∫f ds，与方向无关）和第二类（对坐标，∫P dx加Q dy，与方向有关）。计算：参数方程代入。格林公式联系二重积分与第二类曲线积分。

### 曲面积分

曲面积分：第一类（对面积，∫∫f dS）和第二类（对坐标，∫∫P dy dz加Q dz dx加R dx dy）。计算：投影到坐标面。高斯公式联系三重积分与第二类曲面积分。

### 最大似然估计

最大似然估计：选择使样本出现概率最大的参数值。似然函数L(θ)等于联合密度（分布律）。取对数求导令导数为0。最大似然估计具有渐近有效性。

### 有理数

整数和分数统称有理数。有理数都可以写成两个整数之比。数轴上右边的数总比左边的大。

### 期望

期望E(X)等于Σx乘P(X等于x)，是随机变量的平均值。期望反映长期平均结果。期望有线性性质：E(aX加b)等于aE(X)加b。

### 条件分布

条件分布：一个变量给定时另一个变量的分布。离散：条件分布律等于联合除以边缘。连续：条件密度等于联合密度除以边缘密度。条件分布用于贝叶斯框架。

### 条件极值拉格朗日

拉格朗日乘数法：求f在约束g等于0下的极值，构造L等于f加λg，对x、y、λ求偏导等于0解出驻点。拉格朗日乘数法是条件极值的一般方法。

### 条件概率

条件概率：P(A|B)等于P(AB)除以P(B)（P(B)大于0），表示B发生条件下A发生的概率。乘法公式：P(AB)等于P(A)P(B|A)。条件概率也是概率。

### 条形统计图

用直条的长短表示数量的多少，叫条形统计图。条形图一眼就能看出谁多谁少。

### 极值最值

极值是局部最值，f'(x)在x0两侧变号则x0是极值点。闭区间上最值：比较极值与端点值。导数求最值解决优化问题。

### 极大无关组

极大无关组：线性无关且可表示向量组中任一向量。极大无关组不唯一，但所含向量个数相同（等于秩）。用初等变换求极大无关组。

### 极限运算法则

极限运算法则：lim(f±g)等于lim f±lim g，lim(fg)等于lim f乘lim g，lim(f/g)等于lim f除以lim g（lim g不为0）。复合函数极限：内层极限存在且外层连续。

### 标准形

二次型的标准形：只含平方项。用配方法或正交变换化标准形。规范形：标准形系数化为正负1和0。惯性定理：正负惯性指数由二次型唯一确定。

### 样本估计总体

用样本平均数、样本方差估计总体的平均数和方差。样本量越大，估计越准确，这是大数定律思想。

### 格林公式

格林公式：∮P dx加Q dy等于∫∫(Qx减Py)dxdy（区域D）。条件：P、Q在D上有连续一阶偏导，D是单连通区域。应用：计算平面区域面积。与路径无关的条件：Qx等于Py。

### 植树问题

一条路上每隔3米种一棵树，种多少棵？植树问题要注意首尾，棵数等于段数加1（两端都种）。

### 椭圆

椭圆是到两定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。标准方程：x方除以a方加y方除以b方等于1（a大于b大于0），离心率e等于c除以a（0小于e小于1）。

### 概率初步

事件发生的可能性大小叫概率。概率是0到1之间的数。大量重复试验，频率会稳定在概率附近。

### 概率定义

概率是事件发生的可能性大小的度量。公理化定义：非负性、规范性（P(Ω)等于1）、可列可加性。古典概型：等可能有限样本点，概率等于有利数除以总数。几何概型：长度面积体积比。

### 模型思想

把实际问题抽象成数学问题，用数学方法解决，叫数学建模。模型思想是重要的数学思想。

### 正切函数

y等于tanx的定义域是x不等于π/2加kπ，周期是π，图像在每段间隔内单调递增，有渐近线。

### 正定二次型

正定二次型：对任意非零x，f(x)大于0。判定：顺序主子式全大于0（赫尔维茨定理）、特征值全正、与单位阵合同。正定矩阵是实对称矩阵。

### 正弦余弦函数图像

y等于sinx的图像是波浪形，周期2π，最大1最小负1。y等于cosx的图像由sinx向左平移π/2得到。

### 正态分布

正态分布是连续型随机变量的重要分布，图像是钟形曲线，关于均值对称。3σ原则：落在均值正负一个标准差内的概率约68%。

### 正比例

两种相关联的量，一种变化另一种也随着变化，比值一定，叫正比例。比如单价一定，总价和数量成正比例。

### 正项级数判敛

正项级数判敛：比较判别法、极限比较判别法、比值判别法（达朗贝尔）、根值判别法（柯西）。p级数：1除以n的p次方，p大于1收敛。

### 比

两个数相除又叫两个数的比。比如6除以3等于2，可以说6和3的比是6比3。比表示两个数量之间的关系。

### 比例

两个比值相等的比可以组成比例。比如2比3等于4比6。比例表示两个比相等的关系。

### 比例尺

地图上的距离和实际距离的比叫比例尺。比例尺1比1000表示图上1厘米代表实际1000厘米。比例尺把大的世界缩小到纸上。

### 比值

比的前项除以后项，得到的商叫比值。6比3的比值是2。比值可以是整数、小数或分数。

### 比的基本性质

比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变。用这个性质可以化简比。

### 求导法则

求导法则：和差积商求导公式、复合函数链式法则（y对x的导数等于y对u乘u对x）、反函数求导。基本初等函数导数表：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

### 泊松分布

泊松分布X~P(λ)：描述稀有事件在单位时间发生的次数。P(X等于k)等于λ的k次方e的负λ次方除以k!。期望方差都等于λ。泊松定理：二项分布当n大p小时近似泊松。

### 泰勒公式

泰勒公式：用多项式逼近函数，f(x)等于f(x0)加f'(x0)(x减x0)加二阶项加...加佩亚诺余项或拉格朗日余项。麦克劳林公式：x0等于0的特例。e的x次方、sinx、ln(1加x)的展开式。

### 洛必达法则

洛必达法则：0比0型或无穷比无穷型极限，分子分母分别求导后再求极限。适用条件：导数之比极限存在。洛必达法则可多次使用。

### 点线面位置关系

空间中点、直线、平面的位置关系：点在线上、点在面上、线在面上、线线平行相交异面、线面平行相交、面面平行相交。

### 点线面体

点动成线，线动成面，面动成体。两点确定一条直线。点、线、面、体是图形的基本元素。

### 特征值特征向量

特征值特征向量：A乘x等于λx（x非零），λ是特征值，x是对应特征向量。特征方程|λI减A|等于0。特征值之和等于迹，之积等于行列式。

### 特殊平行四边形

矩形四个角是直角、对角线相等；菱形四条边相等、对角线互相垂直；正方形兼具两者的性质。

### 独立性

事件独立：P(AB)等于P(A)P(B)。独立与互斥不同（互斥是不同时发生）。三个事件两两独立不一定相互独立。独立试验：重复独立试验模型（n重伯努利）。

### 独立性检验

判断两个分类变量是否独立用卡方检验。卡方统计量越大，越有把握认为有关。

### 用字母表示数

用字母可以表示数，比如一本书a元，3本书就是3a元。字母可以代表任何数，让式子更简洁。

### 百分数

把东西分成100份，取其中的几份就是百分之几。百分数表示一个数是另一个数的百分之几。

### 直线与圆位置关系

直线与圆相交（弦长）、相切（切线）、相离。判断用圆心到直线的距离d与半径r比较。

### 直线方程

直线的点斜式、斜截式、两点式、一般式。斜率k等于tanα，两点斜率公式。两条直线平行斜率相等，垂直斜率乘积为负1。

### 直角三角形

直角三角形有一个角是90度，两锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

### 相交线与平行线

两条直线相交，对顶角相等，邻补角互补。两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

### 相似三角形

相似三角形对应角相等，对应边成比例。判定：两角对应相等、两边成比例夹角相等、三边成比例。相似三角形的面积比等于相似比的平方。

### 相似对角化

矩阵可对角化：存在可逆矩阵P使P逆AP为对角阵，充要条件：n个线性无关特征向量（每个特征值的代数重数等于几何重数）。对角化后求幂方便：A的n次方等于P D的n次方 P逆。

### 矩估计

矩估计：用样本矩估计总体矩，解方程得到参数估计。矩估计思想：样本矩收敛于总体矩（大数定律）。矩估计简单但不一定最优。

### 矩阵的秩

矩阵的秩：矩阵的非零子式的最高阶数，或行阶梯形中非零行的行数。秩的性质：r(A)小于等于min(m,n)，秩不随初等变换改变。秩是矩阵的重要不变量。

### 矩阵运算

矩阵：数表，m行n列。矩阵加法（同型矩阵对应元素相加）、数乘、矩阵乘法（前行乘后列，左矩阵列数等于右矩阵行数）。矩阵乘法不满足交换律。转置：行列互换。

### 离散型随机变量

离散型随机变量：取值为有限或可列个。分布律：P(X等于xk)等于pk，pk非负和为1。常见离散分布：0-1分布、二项分布、泊松分布、几何分布。

### 空间几何体

柱体、锥体、台体、球体是基本的空间几何体。棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台各有特征。

### 空间向量坐标

空间向量用坐标(x,y,z)表示。空间向量的模、数量积用坐标计算：a点乘b等于x1x2加y1y2加z1z2。

### 空间向量运算

空间向量加法、减法、数乘与平面向量类似。空间向量的数量积、向量积用于解决空间问题。

### 空间角

异面直线所成角、线面角、二面角是三种空间角。求角的一般思路：作角、证角、算角。

### 立体图形

长方体、正方体、圆柱、球都是立体图形。立体图形占有空间，有长宽高。球从哪看都是圆的。

### 等差数列

从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数（公差d），叫等差数列。通项公式：an等于a1加(n减1)d。

### 等式的性质

等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。用这个性质可以解方程。

### 等比数列

从第二项起，每一项与它前一项的比是同一个常数（公比q，q不为0），叫等比数列。通项公式：an等于a1乘q的(n减1)次方。

### 等腰三角形

等腰三角形两腰相等，两底角相等，等边对等角。等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。

### 简便运算

25乘4等于100，125乘8等于1000，记住这些好朋友数，计算会更快。运用运算律可以让计算简便。

### 简易方程

含有未知数的等式叫方程，比如x加5等于12。方程表示两边相等的关系。解方程就是求出未知数是多少。

### 线性相关无关

线性相关：存在不全为零的系数使向量线性组合等于零向量。线性无关：只有全零系数才成立。单个非零向量线性无关。向量组线性相关的充要条件：某向量可由其余向量线性表示。

### 线性规划

在约束条件下求目标函数的最值叫线性规划。可行域是约束条件围成的区域，最值在可行域的顶点取得。

### 组合

从n个不同元素中取出m个不考虑顺序，组合数C(n,m)等于n!除以[m!(n减m)!]。组合与顺序无关。

### 统计表

把数据填进表格，叫统计表。统计表让数据一目了然。看统计表要会读表头。

### 联合分布

二维随机变量联合分布函数F(x,y)等于P(X小于等于x,Y小于等于y)。联合分布律（离散）和联合密度（连续）。联合分布决定边缘分布。

### 自然数

0、1、2、3、4都是自然数。自然数表示东西的个数，最小的自然数是0。

### 行列式定义

n阶行列式是n方个数按规则排成的算式，等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，符号由排列的逆序数决定。二阶三阶行列式有对角线法则。

### 行列式性质

行列式性质：转置行列式值不变；交换两行变号；某行有公因子可提出；两行成比例则值为0；某行是两组数之和可拆开；初等变换不影响值（行倍加）。性质用于化简计算。

### 行程问题

速度乘时间等于路程。路程除以时间等于速度。相向而行、同向而行是行程问题的两种类型。

### 表面积与体积

柱体体积等于底面积乘高，锥体体积等于底面积乘高除以3，球体积等于4/3πR的3次方，球表面积等于4πR方。

### 视图与投影

从正面看是主视图，从上面看是俯视图，从侧面看是左视图。平行投影和中心投影是两种投影方式。

### 角

从一个点引出两条射线就组成角。角有一个顶点两条边。角的大小看两条边张开的程度，和边的长短无关。

### 解方程

x加5等于12，两边同时减5，x等于7。解方程时未知数要单独放在一边。解出的答案要带回原式检验。

### 解的结构

线性方程组解的结构：非齐次通解等于特解加对应齐次通解。齐次通解是基础解系的线性组合。解的结构定理是线性方程组的核心理论。

### 诱导公式

奇变偶不变，符号看象限。诱导公式把任意角的三角函数化为锐角三角函数。

### 课题学习

围绕一个课题，综合运用数学知识进行研究。课题学习培养探究能力和合作能力。

### 负数

温度在0度以下用负数表示，比如零下5度写作-5。负数比0小，表示相反的意思，亏钱用负数，挣钱用正数。

### 质量单位

称轻的东西用克，称重的东西用千克，称很重的东西用吨。1千克等于1000克，1吨等于1000千克。一个鸡蛋大约50克。

### 轴对称

轴对称图形沿对称轴对折后完全重合。对应点到对称轴的距离相等。对应线段相等、对应角相等。

### 边缘分布

边缘分布：单个变量的分布。离散：对另一变量求和。连续：对另一变量积分。边缘密度等于联合密度在另一变量全空间积分。由联合可求边缘，反之不一定。

### 运算律

加法交换律：交换两个加数的位置，和不变。乘法交换律：交换两个乘数的位置，积不变。运算律让计算更简便。

### 连续与间断

函数连续：lim f(x)等于f(x0)。连续函数图像不断开。间断点分类：第一类（左右极限存在，可去跳跃）、第二类（无穷、振荡）。初等函数在定义区间内连续。

### 连续型随机变量

连续型随机变量：存在密度函数f(x)，非负且积分为1。P(a小于X小于b)等于密度在区间积分。分布函数连续。单点概率为0。

### 逆矩阵

逆矩阵：A乘A逆等于A逆乘A等于单位阵。A可逆的充要条件：行列式不为0。求逆方法：伴随矩阵法、初等变换法（A|E化E|A逆）。逆矩阵性质：(AB)逆等于B逆A逆。

### 通解

通解：含任意常数的全部解。齐次方程通解由基础解系张成。求通解步骤：化行最简形、确定自由变量、写基础解系、组合成通解。

### 锐角三角函数

在直角三角形中，sinA等于对边比斜边，cosA等于邻边比斜边，tanA等于对边比邻边。特殊角30度、45度、60度的三角函数值要记住。

### 长度单位

量短的用毫米、厘米，量长的用米，量很长的用千米。1米等于100厘米，1千米等于1000米。尺子上1小格是1毫米，1大格是1厘米。

### 长方体正方体

长方体有6个面、12条棱、8个顶点，对面相等。正方体是特殊的长方体，6个面都相等。体积是长乘宽乘高。

### 闭区间连续函数性质

闭区间上连续函数的性质：有界性、最值定理（取得最大值最小值）、介值定理（函数值介于两端点值之间）、零点定理（异号则存在零点）。性质是证明方程有根的工具。

### 问题解决

解决问题先读清题目，找出已知和问题，再想方法，最后检验。四步：读、想、算、查。

### 随机事件

随机试验的结果叫随机事件。事件关系：包含、相等、并（至少一个发生）、交（同时发生）、差、对立（A不发生）。事件运算满足交换律结合律分配律德摩根律。

### 随机变量函数分布

随机变量函数的分布：Y等于g(X)的分布。离散：合并概率。连续：分布函数法（F_Y(y)等于P(g(X)小于等于y)）或密度变换法（单调函数）。和的分布：卷积公式。

### 随机变量独立性

随机变量独立：联合分布函数等于边缘分布函数乘积，联合密度等于边缘密度乘积。独立变量的函数仍独立。独立是概率论最重要的概念之一。

### 随机抽样

简单随机抽样（抽签法、随机数法）、系统抽样、分层抽样。分层抽样按比例抽取各层，保证代表性。

### 随机现象

有些事情的结果不确定，叫随机现象。比如掷硬币，可能是正面也可能是反面。随机现象要大量重复才能看出规律。

### 隐函数参数方程求导

隐函数求导：方程两边对x求导，解出y'。参数方程求导：dy除以dx等于(dy/dt)除以(dx/dt)。隐函数和参数方程是函数的两种表示方式。

### 集合

把一些确定的对象放在一起构成集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。集合用列举法或描述法表示。

### 集合运算

交集是两个集合的公共元素，并集是合并所有元素，补集是全集去掉子集。运算性质：交并互补。

### 零点

函数图像与x轴交点的横坐标叫函数的零点。零点存在定理：函数在区间端点异号，则区间内至少有一个零点。

### 非齐次方程组

非齐次线性方程组：Ax等于b。有解判定：系数矩阵秩等于增广矩阵秩。唯一解：秩等于n。无穷多解：秩小于n。无解：系数秩小于增广秩。解的结构：特解加齐次通解。

### 面积

图形表面的大小叫面积。长方形的面积等于长乘宽，正方形的面积等于边长乘边长。面积用面积单位来量。

### 面积单位

量面积用平方厘米、平方分米、平方米。1平方米等于100平方分米，1平方分米等于100平方厘米。桌面的面积用平方分米量。

### 频数分布

把数据分组，统计每组的数据个数（频数），叫频数分布。频数分布直方图直观显示数据分布。

### 频率分布

频率等于频数除以样本容量。频率分布直方图：小矩形面积等于频率，总面积等于1。频率分布表显示数据分布。

### 高斯公式

高斯公式：∮∮P dy dz加Q dz dx加R dx dy等于∫∫∫(Px加Qy加Rz)dV。高斯公式联系曲面积分与三重积分，散度定理。应用：计算通量。

### 高阶导数

高阶导数：导数的导数。n阶导数表示方法f的n次导数。莱布尼茨公式求乘积的高阶导数。常用高阶导数：e的x次方的n阶导数是本身。

### 鸡兔同笼

鸡和兔关在一起，头35个脚94只，问鸡兔各几只？鸡兔同笼是经典问题，可以用假设法解决。

### 齐次方程组

齐次线性方程组：Ax等于0。零解总存在。有非零解的充要条件：系数矩阵秩小于未知数个数。基础解系：含n减r个线性无关解向量。通解是基础解系的线性组合。

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